2017年辽宁大学数学院843线性代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
2． 求函数
的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这个函数。
。
【答案】在定点x 0处，因故
的泰勒级数为
因为对任意的有
，而（其中介于x 0\与x 之间）
所以在整个数轴上，有
于是得
3． 求下列方程所确定的隐函数的导数
（1）（2）（3）（4）
，从而
其中
。
【答案】（1）在方程两端分别对x 求导，得
是由方程所确定的隐函数。
从而
其中
（2）在方程两端分别对x 求导，
得
是由方程
所确定的隐函数。
从而
（3）在方程两端分别对x 求导，得方程
所确定的隐函数。
其中是由
（4）在方程两端分别对x 求导，得
所确定的隐函数。
4． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
从而其中是由方程
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
在x=0处收敛于0，故得
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到
在x=0处收敛于0，故得
又原级数在
处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域有
其中
5． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
6． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
（1）（2）
x
故原级数的和函数
; ;
;
. . ，
边界为
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
与（两部分都要计算）;
与直线y=x及x=2；
-x
（3）y=e、y=e与直线x=1；
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