2017年西安科技大学理学院804高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在的表达式为：
【答案】（1）
上
由于
是奇函数，故
因为f （x ）满足收敛定理的条件且在
内连续，故
（2）
故
用分部积分法得
F （x ）满足收敛定理的条件，而在
处不连续，故
（3）
在上式右端第一个积分中令
故
同理，
F （x ）满足收敛定理的条件，而在
处不连续，故
2． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）
由于一般项不趋于零，故级数发散。
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
（3
）而级
数
据比值审敛法知
是收敛的（事实上
，
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
3． 计算曲线积分正方形的边界。
【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域记则
，其中C 是由四条直线
围成的
由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。
显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得
4． 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm ，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？
【答案】设木板对铁钉的阻力为R ，则铁钉击入木板的深度为h 时的阻力为R=kh，其中k 为常数。
铁锤击第一次时所做的功为
设锤击第二次时，铁钉又击入h 0cm ，则锤击第二次所做的功为
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