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一、证明题

1． 设f 为区间I 上的单调函数. 证明:若

【答案】设f （x ）为I 上的单调递增函数. 得f （x ）在限的单调有界原理知断点.

2． 设f （x ）在

与

为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.

若不是I 的端点, 则存在x 0的某邻域

内递增且以

使

为下界, 由函数极

内递增且以f （x 0）为上界, f （x ）在

都存在. 故若x 0为f 的间断点, 则x 0必是f 的第一类间断点.

当x 0为I 的左（右）端点时, f （x ）在的右（左）极限存在, 故若为间断点, 则必为第一类间

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

.

, 有

. 若

【答案】,

由

对其取极限可得

由已知条件有

3． 利用导数定义证明

:

【答案】

.

二、解答题

4． 设

（2）对

趋于0? 应该怎样做才对;

这个不等式成立的一个充分

时, 相应的

可找到相应的N , 这是否证明了

由

设

即可. 所以, 当

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（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意条件为

即

因此取

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当时

, 相应的当时, 相应的

定

（2）在（1）中对

义, 对任意正数

（3）对任意的正数

都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限

求得

时, 都有

则当

都找到相应的N. 对于本题, 由

, 若存在N , 使得当

这样才能证明

时, 也成立. 因此,

对给定的

5．

设为正实数, 确定使在A 的范围（要叙述过程）.

【答案】当当由

时,

在

事实上,

当

时, X 显然在时,

因为

, 若能找到一个N

, 则可以找到无穷多个

N. 上一致连续的的范围以及使

在上一致连续.

上一致连续即可. 不一致连续的

上不一致连续.

在

[0, 1]上一致连续, 所以只要证明它在

上有界可知, 尽管

在

不一致连续. 当

时, 取

,

, 但是

故在上不一致连续.

6． 计算第二型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）因

其中L 为螺线其中L 为圆周其中

L

为

, 依逆时针方向;

与

z 轴所围的闭曲线, 依顺时针方向; 从而

（2）由圆的参数方程.

, 则

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沿t 增加方向的一段;

其中

L 为从（1, 1, 1） N （2, 3, 4）的直线段.

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（3）

（4）直线的参数方程是:x=1+t, y=1+2t, z=1+3t （

）,

7． 设定义在

上的函数, 在任何闭区间

上有界. 定义

上的函数:

试讨论（1）

【答案】（1）如果把x 看作时间, 那么最小值）. 间

时,

则表示从

,

对一切

到

期间

内单调递减到最小值-1,

并且

表示从

到

与

的图像, 其中

期间

的下确界（有时是

在区

当

时

,

的上确界（有时是最大值）. 函数是它的最大值. 于是,

当总有

即

（2）同理可得

（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示

.

图1

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