当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:函数

【答案】因为

所以

2．

利用不等式

为有界数列.

【答案】由不等式令

则有

得到

于是

因此,

为递减数列, 由此推出

于是

即

为有界数列.

, 求证:方程f （x ）=0在（a , b ）内如果. 事实上, 由假设

第 2 页，共 24 页

（a , b 为常数）满足拉普拉斯方程:

证明

:为递减数列,

并由此推出

3． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根.

【答案】设

, 使得

. 首先有.

,

其次, 假定存在

证明可得

这与

再在

的假定矛盾.

（不妨设上对

, 使得

用罗尔中值定理,

则存在

）那么根据上述

,

使得

4． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知,

, 存在. 使得

【答案】由f （x ）在在上也连续. 由连续函数的最大、

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在, 使得

5． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设若于是有同样, 若若于是有

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

取

满足

且满足

且

所以上二次可微, 且

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

第 3 页，共 24 页

若

取

若

得证； , 取

于是由闭区间套定理知存在惟一的因为由于

6． 设f （x ）在

在

处连续, 故

故有

在x 与x-h 之间

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

可得

二、解答题

7． 设

且试证

因此,

又因为当

时

t

当

在[a, b]上一致收敛, 由柯西收敛准则,

有

于是有

由柯西收敛准则, 得

8． 求螺旋线

【答案】

则

9． 利用归结原则计算下列极限:

（1）

【答案】（1）令

（2）, 则有

由归结原则, 得

（2）令

, 则

第 4 页，共 24 页

在. 上连续, 又有函数列

在

上也一致收敛.

在

在上一致收敛,

【答案】由一致连续性定理可知, 上也一致连续.

且时, 有

在[a, b], 上一致收敛.

对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L