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一、证明题

1． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以

2． 证明:若级数

收敛

,

绝对收敛, 则级数收敛, 则其部分和数

列

也收敛.

有界. 设存在正数M , 使

得

【答案】因为级

数

又因为即

和

为D 上的奇函数, 为奇函数.

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

与

是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

收敛, 从而

绝对收敛, 由阿贝尔变换知

又由即

, 收敛可知收敛. 设

则

所以

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即

收敛.

, 其中等号仅在f （x ）为常

3． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.

【答案】

其中

若等号成立, 则对任何即

4． 按

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）

定义证明:

、 , 有

,

所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数.

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

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故

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对任意

5． 证明

【答案】对任意的数

6．

设f

为

【答案】设

中值定理,

存在

, 使得

上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有

, 贝岫题设知

, g （

x ）在

上为非负、递减函数.

由积分第二

在

取

由不等式则当

得时, 有

限制时, , 即

故. 当

时, 函其中取

上是严格减函数. 于是当

则当

时

,

,

故

二、解答题

7． 求曲线

【答案】

令

8． 在得

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上曲率最大的点

.

, 得时取最大值.

故

当在点

时, 当

处曲率最大.

时, , 所以K （:r

）在

上把下列函数展开成傅里叶级数

【答案】易知f （x ）是上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可