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一、证明题

1． 设f 以为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在上一致收敛于f.

【答案】因f （X ）是以为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （x ）可展开成傅里叶级数, 不妨设

要证f （x ）的傅里叶级数在

上一致收敛于, f 只需要证明级数

收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以

由贝塞尔不等式知级数

收敛, 再由

收敛知

收敛, 所以f 的傅里叶级数在 2． 设

【答案】

故

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

, 证明:复合函数

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

上一致收敛于f

1收敛, 进而

因此

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3．

设

【答案】因为

由Dirichlet 判别法可判断，利用Abel 引理，

由于

，证明：当时，有收敛，且有界，

.

单调递减且

•由

题设条

件知

收敛，即得，则

收敛.

令

取极限得

，结论得证.

在x 0处有左、右导数

;

令

, 使

【答案】令

则

而

由致密性定理, 令q=l—p , 则

有收敛子列

使

又设

4． 设f （x ）定义在

[a, b]上

证明:存在子列

二、解答题

5

．

求下列极限:

）1（

【答案】（1）

（2） .

（2）

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6． 求下列函数在给定点的全微分:

（1）（2）

【答案】（1）因由得（2）由由

得

7． 设函数项级数

（1）证明此级数在（2）求其和函数.

【答案】（1）对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知, 但由于收敛.

（2）设由于级数的通项出. 因此, 如果级数

但由（1）知,

在在

,

而

是以

为公比的几何级数, 其和可以求

在

上收敛.

,

所以级数

在

上不一致

,

.

上收敛但不一致收敛;

由

得

在（1, 0）, （0, 1）处连续, 从而z 在这两点处可微,

得

在点（0, 0）, （1, 1） 在点（1, 0）, （0, 1）.

在（0, 0）连续, 从而zx 在（0, 0）可微.

同理z 在（1, 1）可微, 由

上满足逐项求导定理的条件, 那么S （x ）便可求出. 上不一致收敛, 也就是说

在

上考虑上述问题

. 显然V n （x ）在

上有连续上不满足

逐项求导定理的条件. 为了克服这—困难, 我们在缩小的区间

, 使

的导数. 由

, 记

知,

是可得

在上一致收敛. 因此,

在上可逐项求导, 于