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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

2． 设

是无界数列, 又因为

界数列.

3．

利用不等式

为有界数列.

【答案】由不等式令

则有

得到

于是

因此,

为递减数列, 由此推出

于是

即

为有界数列.

证明

:

为递减数列,

并由此推出

收敛，证明收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

是无穷大数列. 证明:

在比较原则可知级数发散.

必为无界数列.

存在自然数N ,

当因此

即

时,

有是无

有

收敛.

【答案】

因为是无穷大数列,

所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在

4． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y ）在D 上有界.

【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界, 那么, 对D 的任一分割个小区域上

无界. 当

时, 任取

, 令

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,, 必在某

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由于f 在上无界, 从而存在

从而

使得

另一方面, 由f 在D 上可积知:存在当

时, T 的任一积分和

, 对任一D 的分割都满足

这与①式矛盾,

因此f

在D 上有界.

,

二、解答题

5． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E , 则

（其中

利用球坐标变换计算）

6． 计算下列广义积分

（1）（2

）（3）【答案】（1）

（2）令

, 则

,

于是有

;

, 其中

;

的内部流过球面的流量.

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（3）先求

由分部积分公式, 可得

所以

7

． （1）问

【答案】（1）因为

从而

即f （X ）是以1为周期的周期函数, 其图像如图所示.

图

（2）不一定 例如, 函数

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是否是周期函数？并画出它的图形（其中

, 所以

:表示x 的整数部分）

;

按

的定义, 即得

（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？

就不是周期函数.