2017年上海市培养单位上海技术物理研究所601高等数学(甲)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知
【答案】设入方程并整理，得且上式成
为
取
即
是齐次线性方程
是方程的解，则
即
分离变量后积
分
再积分得
取故
2．
计算曲面积分
分别如下：
【答案】抛物
面
与xOy 面的交线
为，又
于是，有
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的一个解，求此方程的通解。
代
令
则
，得
即
y 2与y 1线性相关，故原方程的通解为
，
其中
为抛物面
在xOy 面上方的部分
，
，
故在xOy 面上的投影区
域
3． 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间?
【答案】（l ）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动, 位移函数为s=s（t ）, 则
于是由假设可知s （0）=0, 故（2）由
, 得
, 所求距离为s （3）=27（m ）。
, 问
4． 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点（x ，y ）处的面密度
，求该薄片的质心。
【答案】
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于是
所求质心为
。
5． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：
是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。
【答案】设
6． 判定函数
【答案】
且
，显然f （x ）具有所要求的性质。
的单调性 仅在
时成立, 因此函数
在[0, 2π]
上单调增加。
7． 求平面2x －2y ＋z ＋5=0与各坐标面的夹角的余弦.
【答案】平面的法向量为n=（2，﹣2，1）. 设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为
，
，
. 则根据平面的方向余弦知
8． 求点M （4，﹣3，5）到各坐标轴的距离.
【答案】点M 到x 轴的距
离
，点M 到z 轴的距离
9． 设可导函数
满足
求
。
【答案】在方程
即
且在原方程中取
可得
两端关于x 求导，得
，点M 到y 轴的距
离
由一阶线性方程的通解公式，得
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