2017年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室820高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 第 2 页，共 44 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 则 线性无关， 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 由上述知 线性相关，所以 于是 因此线性相关，故选A. 3． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 4． 设n （n ≥3）阶矩阵 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D. 故 但当a=l时， 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 第 3 页，共 44 页 【答案】B 【解析】 则A 与B （ ）. 使 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 设组. （2）求W 的基与维数； （3）求W 的正交补. 【答案】⑴ 又因为 其中（2） 此即证明W 是V 的子空间. 再证它们线性无关，令 可证口能 由 则 所以 则 7． 设T 为线性空间V 的线性变换且 ①T 的特征值是1或0; ②若1，0都是T 的特征值， 为相应特征子空间，则 第 4 页，共 44 页 是n 维欧氏空间V 的S 个单位正交向量组成的向量 （1）证明：W 是欧氏空间V 的子空间； 线性表出. 事实上 ， 综上得证 （3）用schmidt 方法. 将 将它扩大为V 的一组正交基 为W 的一组基. 正交化得 则 再 证明：