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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

则线性方程组（ ）•

使

因此A 与B 合同. 3． 设

其中A 可逆，则A.

=（ ）.

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B. C. D.

【答案】C 【解析】因为 4． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

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都是4维列向量，且4阶行列式

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设A 为主对角线上元素为1, 一2, 1的三阶对角方阵，B 为三阶方阵且

求B.

【答案】由（4）得

可逆且由

由此得B 为主对角线上元素为2，-4, 2的对角矩阵.

7． 设

求

中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基.

得

【答案】令

显然

当且仅当

也即BT=TB.写出来就是

即为

由对应元素相等，得出

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