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一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

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则分块矩

的伴随矩阵为（ ）.

且

所以

3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

则A 与B （ ）.

，

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

使

且由①式得

因此A 与B 合同.

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

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5． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 证明：实方阵A 的特征根全为实数的充要条件是，存在正交方阵P 使

【答案】设A 的特征根全为实数，且设且与A 相似，设

但由上题知，

，于是

（P 为正交矩阵，Q 为上三角形矩阵）

又因为Q , J都是上三角形矩阵，故反之，设P 为正交矩阵使

即

为上三角形矩阵.

为上三角形矩阵.

为A 的若尔当标准形，则J 为实矩阵

为上三角形矩阵，即有

由于相似方阵有相同的特征根，故实数

7． 设W

是I

【答案】设所以

这里

为A 的全部特征根，即A 的特征根全为实数.

或全为0,

或

全不为

的非零子空间，对于W

中每一个向量

n , 证明：

则a 线性无关.

因为

则故a 是W 的基，且

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