2018年中国地质大学教育部长江三峡库区地质灾害研究中心610高等数学之工程数学-线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
已知方程组
【答案】-1
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
若
则
2． A 、B 都是n 阶矩阵
，
【答案】0
【解析】由AB = 0，知矩阵B 的列向量是方程组AX=0的解，则
则 3． 设
是三阶矩阵，则满足.
的所有的
_____.
又
故
故方程组无解.
则
_____.
无解，则
_____.
【答案】
【解析】将B 按列分块，
设则
是齐次线性方程组
作齐次线性方程组
其中是任意常数
故
的解向量.
并求出通解
.
有通解
取
为
的通解，再合并成B , 得
都
其中
4．
设
组的通解是_____.
【答案】
【解析】一方面因
为
与
是任意常数.
是线性方程组的两个解，那么此方程
（k 为任意常数）
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，故必
有
另一方面由于在系数矩阵A
中存在二阶子式
又必有那么
，解的性质
是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，那么再根据解的结构，知
为任意常数）是方程组的通解.
因此，
必有
因此，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成，根据
二、选择题
5． 设A ，B , C 均为n 阶矩阵，若AB=C，且B 可逆，则（ ）。
A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】B
【解析】把矩阵A , C 列分块如下
：示，同时由于B 可逆，
即
由于AB=C, 则可知
得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表
同理可知，矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，
故矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.
6． 设A 是三阶矩阵
，是A 的伴随矩阵，己知A 的每行元素之和为k
，m ，则=（ ）
A.km B.
C. D.
的每行元素之和为
【答案】A
【解析】法一：A 的每行元素和为k ，
故两边左乘
得
的每行元素和为m ，故
故
法二：将A 的其余各列加到第1列，且利用A 的每行元素之和为k , 得
显然
的第1列元素的代数余子式是相同的，将
按第一列展开，得
故
因
也是的第一行元素，
故
7． 已知A 是4阶矩阵
，是A 的伴随矩阵，
若（ ）。
A.A-E B.2A-E C.A+2E D.A-4E 【答案】C
【解析】
由
的特征值是1，一1，2, 4
知
的特征值是1, -1, 2, 4, 那么不可逆矩阵是
又因
A-E
的特征值是因此，
而知
于是
那么，矩阵A 的特征值是：
因为特征值非0，故矩阵A-E 可逆. 类似地可见，矩阵A+2E的特征值中含有0, 所以矩阵A+2E不可逆.
8． 设A
是
A. B. C. D.
矩阵，B 是矩阵，
则方程组与. 同解的充分条件是（ ）.
【答案】A
相关内容
相关标签