2018年中国地质大学地质过程与矿产资源国家重点实验室610高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
设
【答案】【解析】
由于
因
故通解为
．设
_____ 【答案】2
【解析】矩阵B 可写成两个矩阵的乘积形式，即
故因此
k 是任意常数.
均
为
3
维
列
向
量
，
记
矩
阵
那
其中
余子式
则
的通解是_____.
其中k 是任意常数
的任一列都是Ax=0的解.
2么
如果
故 3．
行列式
=_____.
【答案】4!3!2! （或288）
【解析】第2, 3, 4行提出公因子2, 3, 4, 再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得
4．
若
【答案】
【解析】
由于矩阵
则_____.
为任意实数 不可逆，
故可设
于是
得方程组
所以
是任意常数.
二、选择题
5．
某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为
自由变量若取为
那么，正确的共有（ ）。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B
【解析】
因为系数矩阵的秩
由于去掉
有
故应当有2个自由变量.
因为其秩与r （A ）不相等，故
两列之后，
所剩三阶矩阵为
不能是自由变量.
与
都不为0,
因此
不是自由变量. 同理
，
因为行列式
均可以是自由变量.
6． 设A 是n 阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
A.
若
是B.
若
是C.
若
是D.
若
是
的特征向量，
那么是A 的特征向量 的特征向量，
那么是A 的特征向量 的特征向量，
那么是A 的特征向量 . 的特征向量，
那么是A 的特征向量
【答案】D
【解析】D 项，
若是2A 的特征向量，
即
A
属于特征值的特征向量.
ABC 三项，
由于
量.
例如
与
上例还说明当矩阵A
不可逆时
不一定同解，
所以
不一定是
的特征向
那么
所以是矩阵
的特征向量不一定是A 的特征向量；
的特征向量不一定是A 的特征向量.
7．
已知是II 元齐次线性方程组（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】AB 两项，
由于有可能是零解，
所以不能保证C 项，
由于
D 项，
因为肯定有
8． 已知两个n
维向量组
秩
A.
B.
C.
D.
及
得
C
项
线性表出，
故
可由
可由与
线性表出
是等价向量组
的2个不同的解，若秩则的通解是
故
一定是通解.
一定是通解. 必是
的非零解.
若向量组的
的极大线性无关组的是（ ）
因此与
的通解形式为
因为
有可能为0,
所以不能保证
则下列条件中不能判定
线性无关
【答案】A 【解析】A 项，
仅
BD 两项，向量
组
可由
线性表出，
并不能保证
由
于
线性无关.
故
等价，
知
线性无关，又能表示（II ）中每个向量.
表
明
线性表出
又线性无关，那么
都可
由是极大无关组.
9． 设A 与B 均为n 阶矩阵，且A 与B 等价，则不正确的命题是（ ）。
A.
B.
如果
则有可逆矩阵P 使PB=E
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