2018年中国地质大学生物地质与环境地质国家重点实验室610高等数学之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 设A 是3
阶矩阵
【答案】1，1，1 【解析】由已知条件，有
是3维线性无关的列向量，
且
则矩阵A 的三个特征值是_____.
因为线性无关，
故矩阵
即
可逆. 记
那么由AP 二PB
得
因为
所以矩阵A 的特征值为1，1，1.
2．
【答案】
=_____.
因此矩阵B 的特征值1, 1, 1,
【解析】本题有较多的0, 并有较好的规律性，因此使用拉普拉斯展开式
.
3．
设向量组
【答案】
线性无关，
则向量组
则
.
即
线性_____。量
仵这个*下的坐标是_____.
【解析】
设
在这个基下的坐标为
4么
．
设
均
为
3
维
列
向
量
，
记
矩
阵
那
如果
_____ 【答案】2
【解析】矩阵B 可写成两个矩阵的乘积形式，即
故
二、选择题
5．
设四阶方阵
其中
均为4维列向量，A 可逆，
且
又设
则等于（ ）。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】显然矩阵B 是经A 的列重排后所得的矩阵，而是交换E 的第1、4两列后所得的初等矩阵
，是交换E 的第2、3列后所得的初等矩阵，
于是
.
故
6．
设
B.
当D.
当
，E 为单位矩阵，则以下结论正确的是（ ）. 时，A+E可逆 时, A+E不可逆
从而
A.A-E 可逆 C.A+E可逆
【答案】D 【解析】
由即
有
，可得
即矩阵A+E不可逆.
对等式两边取行列式，得
若
7． n 阶矩阵A 与B 有相同的特征向量是A 与B 相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】
由
即存在可逆矩阵P
使
知；
若
即是A 的特征向量，
是B 的特征向量. 所以，A 与B 的特征向量不同. 反之，若A 与B
由于A 与B 来说既不充分又不
有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，
即
的特征值不同，A 和B 不可能相似. 因此，A 与B
有相同的特征向量对于必要.
8．
设
性相关的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】
由于 9．
矩阵
A.a=0, b=2
B.a=0，b 为任意常数 C.a=2, b=0
D.a=2, b 为任意常数 【答案】B
相似的充分必要条件为（ ）。
可知
线性相关.
其中
为任意常数，则下列向量组线
有
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