2018年中国地质大学地质过程与矿产资源国家重点实验室610高等数学之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1．
行列式
【答案】24
【解析】在用按行（列）展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形
.
=_____.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于a , 则
【答案】
每一行元素之和为_____.
【解析】由于A 的每一行元素之和为a , 即
即
在等式两边左乘A 得
由于A 可逆，
则
从而
-1
3． 设四阶方
阵
则
【答案】-56 【解析】
因为
故有
4．
设线性方程组
即
有惟一解
方程组
即
有特解【答案】
【解析】方程组⑴Ax 二b 有進一解，
故
Ⅰ
方程组
故⑵的通解为
其中k 是任意常数.
础解系只有一个线性无关向量组成，
且是
则方程组（2）的通解是_____.
其中k 是任意常数
显然
且
的另一个特解.B 是3X4矩阵，故对应齐次方程组Bx=0的基
=_____
其
中均为四维列向量，且
二、选择题
5． 设A
是一个为B ，考虑命题：①
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
矩阵，交换A 的第Ⅰ行、第j 行，然后再交换其第Ⅰ列、第j 列，所得矩阵
②
③A 、B 的行向量组等价；④A 与B 为相似矩阵.
则以上命题成立的个数为（ ）。
【答案】C
【解析】由题意知，
存在初等矩阵所得矩阵），使
得
即
于
是可见命题
均成立.
令
则
（交换单位矩阵E 的第i 行、第j 行或第i 列、第j 列后
!
且
显然A 、B 的行向量组不等价，命题③不成立.
6． n 阶矩阵A 和B 具有相同的特征值是A 与B 相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B
【解析】由A 〜B , 即存在可逆矩阵P
使
即A 与B 有相同的特征值.
但当A , B 有相同特征值时，A 与B 不一定相似，例如相同的特征值
但由于
相同的特征值.
7．
已知是II 元齐次线性方程组（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】AB 两项，
由于有可能是零解，
所以不能保证C 项，
由于
有可能为0,
所以不能保证
故
一定是通解.
一定是通解.
的通解形式为
因为
虽然A , B 有
知
A , B 不可能相似. 所以，相似的必要条件是A ，B 有
的2个不同的解，若秩则的通解是
D 项，
因为肯定有
因此必是的非零解.
8． n 阶矩阵A 与B 有相同的特征向量是A 与B 相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件