2017年中山大学数学与计算科学学院868高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
3． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令
则方程组①可改写为
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）交于一点的充要条件是（ ）
.
其中
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由 4． 设
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当
时，f 为正定二次型.
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
因此
是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
方法3 设对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． A 是一个实矩阵，证明秩
是（2）的解，
即
则有
即有解. （1）、（2）
7． 证明：次数
【答案】必要性. 设f （x ）是不可约多项式p （x ）的方幂
.
如果
那么由p （x ）的不可约性：
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【答案】考察下列两个齐次方程组
显然（1）的解是（2）的解. 反之
设
令
于是
个解.
故
于
是
也是（1）的解. 这证明了（1）、（2）同
和
的基础解系中有同样多的解. （1）、（2
）的基础解系中应各有
且首项系数为1的多项式f （x ）是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件
由
可以推出
或者对某一正整数
是：
对任意的多项式