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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

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所以A 的特征值为3，3，0；而

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

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所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设

为由全体正实数对运算

作成的实数域R 上的线性空间，R 对普通加法与乘法作成R 上线性空间. 证明：【答案】证法I 任取一个定实数射.

又对任意又因为对任意

即b 是一正实数，令

和

有

因此，一维空间

.

中的零向量是1, 今在

中任取一非零向量a , 即a 是一个非1的正实数，则当

时有

. 即a 在R 上线性无关. 再任取

即

中每个向量都可由a 线性表示. 因此，

即b 为正实数，则

也是实数域上一维空间，即与R 都是实数域

也作成实数域上

证法II 实数集R （对普通加法与乘法）作成实数域上一维线性空间. 下证

则

故又是满射，从而为双射.

则易知

是R 到

的一个映射，且显然是一个单

上一维空间， 故

7． 设V 是有限维欧氏空间，内积记为

显然

和

设T 是. 的一个正交变换，记

都是V 的子空间，试证明：

【答案】先证

则

因此设

其中I 为V 的恒等变换

.

因为

由①，③，④即证

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于是

即证