2017年中山大学数据科学与计算机学院868高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
的基础解系. 又由
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
线性相关，故选D.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
二、分析计算题
6． 证明埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交.
【答案】设A 是一个埃尔米特矩阵，
是A 的一个特征值. 于是有非零向量
满足
令
其中（i=l, 2，…，n ）是的共辄复数.
故有于是
上式左边为
右边为
因为
的特征值，
因此
于是
因为A 是埃尔米特矩阵，所以因为
相互正交.
即是一个实数.
再设是A 的一个不等于是A 的一个属于的特征向量，
又有
所以即正交. 也就是说明埃尔米特矩阵的属于不同特征值的特征向量
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