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一、解答题

1． 求不定积分

【答案】

2． 计算曲线积分

, 其中L 是曲线

从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一（用参数方程求解）令故

方法二:（用斯托克斯公式求解）设S 为平面x －y+z=2上以L 为边界的有限部分, 其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则

由斯托克斯公式可得

其中

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. 则

为S 在xy 平面的投影域, 即D xy

:. 记,

.

3． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比, 试由此给出变速旋转的角速度的定义.

【答案】设旋转角与时间的函数关系为而时刻t 的角速度定义为

4． 计算下列曲线积分:

（1）（2）（3）（4）B :

（5）（6）

, L 是抛物线

从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;

.

,

若从x 轴

,

L 是维维安尼曲线

其中L 是由

和x+y=2所围的闭曲线;

其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线

, 则时刻t 到

内的平均角速度为

L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点

正向看去, L 是逆时针方向讲行的.

【答案】（1）闭曲线L 如图1所示, 其中AOB —段为, AB —

段为

,

, 所以

图1

（2）双纽线在第一象限的参数方程为其极坐标方程是故

由于被积函数与L 的对称性, 有

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,

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（3）由所以

（4

）有向曲线L

如图2所示, 它的参量方程是

, 所以

曲线从

到

有

、

图

2

（

5）对

L :

有

（6）设

当t 从减小到

则维维安尼曲线的参量方程是时, 描出了曲线的方向, 于是

5． 计算曲线积分

其中L 为圆周:

L 的方向是:从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

,

第

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页