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一、填空题

1． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.

【答案】3

c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.

2． 微分方程满足初始条件

【答案】【解析】

又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。

3． 积分

【答案】

的值等于_____。

2

的解为_____。

为一阶线性微分方程，所以

【解析】交换积分次序，得

4． 若将柱坐标系中的三重累次积分

，则_____。 重累次积分（先对z ，再对y 最后对x 积分）

【答案】

【解析】这是三重积分

在柱坐标变换

化为直角坐标系

中的三

后的累次积分。将的柱坐标表示为

图

中的直角坐标表示为

于是

5． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，

故积分方程应理解为

2

°由于积分方程

后，有恒等式然，当

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

6． 设∣a ∣=3，∣b ∣=4，∣c ∣=5，且满足a+b+c=0，则∣a ×b+b×c+c×a ∣=_____

【答案】36 【解析】由由

知

知

，即

，即

又由

知以向量a ，b ，c 为边的三角形为直角三角形，且

7． 已知

【答案】【解析】等式

连续，且

两端同时积分得

，则

_____。

. 故

由奇偶数和对称性知

则

8． 级数

【答案】

的和为_____。

【解析】令

则有