2018年中山大学中山医学院602高等数学(B)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1．
设
（1
）证明
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对
角阵
=1, 从而R 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）=1,
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先
证明
相似，
其中
于是只有一个非零对角元，
即
其次，求A 的非零特征值，
因
再求A 的特征向量.
①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，
从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于
方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，即
是方程
知
故可取
两边转置得这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
方法二：
由有 2．
设
按定义，即知A
有非零特征值
且对应特征向量为
求3AB-2A
及
【答案】于是
因即A 为对称阵，
故
3． 设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A
的特征值是特征多项式
从而A
与
的特征值也相同.
4． 举例说明下列各命题是错误的：
（1
）若向量组（2
）若有不全为零的数则
线性相关
，
（3
）若只有当
线性无关
，（4
）若
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
线性相关，则
可由
，
使亦线性相关. 全为零时，等式亦线性无关.
线性相关
，
线性表示.
成立，
才能成立，
则
亦线性相关，
则有不全为零的数
同时成立.
使
【答案】命题（1）是错误的，反例I
取向量它含有零向量，
但
并不能由线性表示.
，则向量组线性相关，因
命题（2）是错误的，反例：
取
成立，
但
命题（3）是错误的，反例：
取此时若有和向量组
都线性相关.
线性无关，
也线性无关.
成立，
只有
再取，
则有
，
但向量组
命题（4）是错误的，反例：
取
均线性相关. 但对此两向量组+
存在不全为零的数
同时成立，因由上而第一式可得
于是
，
，
同理由第二式得
，使
，则向量组和向量组
5． 计算下列各行列式：
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
【答案】⑴