2018年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1
）（2
）
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
对应特征值
解方程（A-E ）x=0，
由
得单位特征向量对应特征值
解方程（A-2E ）x=0，由
得单位特征向量
对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f
化为标准形
（2）二次型的矩阵为
它的特征多项式为
所以A
的特征值为对应
解方程（A-2E ）x=0,
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应解方程（A+E）x=0,
由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵. 再作正交变换x=Py,
2．
设
即化f 为标准形：
（1）求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形； （2）求一个可逆阵Q ，使QA T 为行最简形. 【答案】⑴
于是
且
为A 的行最简形；
（2）
于是
并且
3．
设
为
的行最简形.
，
，，
线性相关.
，证明向量组线性相关.
【答案】
方法一、由定义，
知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
其中
因
由矩阵秩的性质知
4． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】
显然A 与B
的对应A 与B
有对应于
另一方面
，
，向量组
线性相关.
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质