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一、计算题

1．

设

,

,

证明三直线

相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】

三直线

有惟一解 2．

设

求

相交于一点

非齐次方程

向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.

【答案】利用矩阵A

的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：

所以A

的特征值为（2

）对应

解方程

并且它们互不相同，知A 可对角化. 由

得特征向量

对应

解方程由

得特征向量对应

解方程

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由⑶令

得特征向量

则P 为可逆阵，且于是求出

得

3． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；

（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;

（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;

（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;

（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;

（

5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为

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（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.

4．

在中取两个基

试求坐标变换公式.

【答案】

记

：

到基

:

的过渡矩阵为

于

是

故得坐标变换公式为

即从

基

.

用矩阵的初等行变换求

于是所求坐标变换公式为

5．

设

，

，，

线性相关.

，证明向量组线性相关.

【答案】

方法一、由定义，

知向量组

方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：

其中

因