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一、解答题

1． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证为了确定此,

又因为g （x ）在（3）令

则

所以当x>0时,

由此可得,

2． （1）叙述极限

的柯西准则

不存在的充要条件, 并应用它证明

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;

. 则

内严格递增.

时, 则

, 即,

, 则内严格递减.

时,

, 故当

时

.

因

则

的符号, 令于是, g （x ）在连续, 所以当

. 故

于是在

内, f （x ）严

.

, 令令

又因f （x ）在x=0连续, 所以当格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

因此h （x ）

在内严格递减. 又因h （x ）在x=0连续,

故

（2）根据柯西准则叙述不存在.

【答案】（1）设任给（2）设对任何取则

, 对任给的

并且存在实数

在

在上有定义, 极限使得对任何

存在的充要条件是:

'-fi

上有定义, 极限总存在得

故

不存在的充要条件是:使得不存在.

3． 求下列极限（其中n 皆为正整数）.

（1）（3）（5

）【答案】 （

1）

（

2）（3）

（4）由公式

得

（5）由性知得

4． 设

令

. 求证:

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（2）（

4

）

可知

, 当

故

时, 有

. 当时, 有根据迫敛

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（1

）f （x ）在上可导, 且导数只在

处不连续; 处不连续.

（2）f

（1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【

答案】（1）因为

. 又当

时,

, 且

, 所

以由连续性定理知

因此在上连续, 且, 从而

在上一致收敛. 于是函数在

上可导, 且

又因为在上可导, 导数在点处不连续, 所以

在（2）

上可导, 且导数只在点处不连续.

, 故由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导

数只在点

处不连续.

5． 求证:黎曼

函数

（1）在x>1上连续; （2）在x>1上连续可微. 【答案】（1）

, 使得

又

,

从而

在

上一致收敛. 进一步由连续性定理, 可知函数

在x>1上连续.

在

上

具有如下性质:

连续, 特别在x 0点连续. 由于x 0的任意性, 即可肯定

（2）由（1）可知

, 使得

.

又

收敛, 从而

在

上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知

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