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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C

1

【解析】因为

所以

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

则

为（ ）.

【答案】C 【解析】而

4． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

【解析】因为当否则有

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

由上述知因此 5． 若

则

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

线性相关，所以线性相关，故选A. 都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.

于是

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

二、分析计算题

6． 计算：

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【答案】

（用归纳法）；

（用归纳法）；

时为

当时为

（用归纳法）.

7． 设

相似. 证明:

是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S , 使则称与

与相似的充要条件是:存在可逆线性变换S , 使对V 中任一向量，由可得

【答案】取定线性空间V 的一组基. 设在该基下的矩阵仍记为显见问题等价于矩与

相似的充要条件是，存在可逆阵S , 使必要性 因任取故有可得从而有

即

所以

，即

阵中任给向量

-

. 如. 可得

相似

，则存在可逆矩阵S ,

使

，如

. 则因

的自然基

充分性由题设，存在可逆阵S , 对

相似.