2018年西安工程大学理学院827高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当
时，
由
，用
使
则（ ）.
阶方阵，且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
故选C.
3． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
4． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
5． 设行列式
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
二、分析计算题
6． 设
是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 证明:
中有一次数
的多项式
，那么
这里
是
使与
的最大公因式
（1）在（2）如果（3）
可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式
（1）是V 上全体线性变换所成的线性空间中的元素. 该空间是维的，【答案】任意个元素皆线性相关. 数
令（2）使于是
（3）必要性. 由（1），有
不全为零使
设
是
是不可能的. 故
中第一个不为零的数.
由于
. 于是
因
可逆，就有
即
是可逆变换.
7． 设K 是一个数域, x 是一个不定元, 给定正整数n , 令
关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间, 在此线性空间中定义变换
这里
为多项式
的微商
的全部特征值；
标准形
有
（1）证明:D 是一个线性变换； （2）令E 为（3）在【答案】（1）
的恒等变换, 求
内找一组基, 使D 在此组基下矩阵成为
令
则常数项充分性. 设写出来就是于是
可逆，
因此
否则有
及
但
是
，
使
，它的次数
,
.
，且使
,
的最大公因式，必有
是该空间中
个元素，必线性相关. 故存在不全为零的一组