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一、填空题

1． 设A 是4X3矩阵，且A 的秩

【答案】2 【解析】

2． 设

则

之秩S 与

可由

线性表示.

之秩t 的关系是_____.

【答案】

是可逆阵，

而

则

_______

【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以

①

将①式两端分别减去

得

此即 3． 设矩阵

可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，

则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由

可知秩为

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3

4． 多项式

除以所得余式为_____..

【答案】

.

【解析】设

将代入上式，得

由商式和余式的惟一性即得.

二、计算题

5． 设A , B 为n 阶方阵. 证明:

【答案】①证法Ⅰ若A , B 中有一个可逆, 例如, A 可逆, 则

又由于是关于x 的首系数为1的n 次多项式, 故

从而由上知,

有相同的特征多项式, 即

这是关于x 的一个恒等式, 故当时也相等. 即

.

证法Ⅱ由于

两边取行列式, 并由拉普拉斯定理得

同理有

故

由 （1）, （2）即得

②因为故其

次项系数相等, 从而

6． 设

都是3阶方阵

当

时，求

【答案】由

①-②得

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1）2） （

（

而所以

由③得

但所以由④式可得

其中

7． 把

的形式

.

【答案】

用综合除法进行计算

表成的方幕和，即表成

所以

应用综合除法

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