2017年湖北大学数学与统计学学院601高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
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使AB=0, 则（ ）
.
当C.
3． 设
时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选
是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 4． 若
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
则线性方程组（ ）•
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
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二、分析计算题
6． 证明
：
存在左逆阵（右逆阵）的充要条件是A 的列（行）满秩，且在A 存在左逆阵时，
A 左（右）逆阵唯一的充要条件是A 的行（列）也满秩，即A 可逆.
【答案】以左逆阵为例. （1
）
证法1:A 的列满秩，
则则BA=E.故A 存在左逆阵.
证法2:A 列满秩，则存在m 阶可逆阵P ，使<
存在左逆矩阵
所以rA.=k, 即A 列满秩. （2）唯一性
又A 存在左逆阵时有
故k=n, 即A 为n 阶可逆阵.
所以A 的左逆（即逆矩阵）唯一
.
设A 左逆唯一，由（1）得A 列满秩， 所以
若k 即 则 则有 的列数，所 以 非奇异. 取 这里为n 阶单位矩阵E 的第i 列（i=l, 2, …，n ）, 因为 所以式（*）有解，且解不唯一，这样矩阵方程即 7． 设为AB 和BA 的非零特征值，证明：AB 的属于的特征子空间空间 的维数相同. 【答案】设下面证明设则于是由由 第 4 页，共 46 页 解不唯一， 解不唯一（与A 的左逆阵唯一矛盾）. 所以k=n，即A 的行向量组也线性无关. 和BA 的属于的特征子故 是的基，贝!J , 于是 线性无关. 和线性无关，则线性无关，则 故类似可证 线性无关. 故
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