2017年湖北大学数学与统计学学院601高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
，
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关
【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设A 为三阶实对称矩阵，且满足 （1）求A 的全部特征值； （2）当k 为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. ，则 【答案】（1）设为A 的一个特征值，对应的特征向量为。 于是 因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩A=2，所以 故矩阵A 的全部特征值为 （2）解法1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵. 由（1）知，A+kE的全部特征值为 于是当k>2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零. 故矩阵A+kE为正定矩阵. 解法2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 于是 所以 而 又因为A+kE正定，所以其顺序主子式均大于0，即 已知A 的秩A=2.