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一、选择题

1． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D

【解析】秩未知量个数，

2． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时，

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

【答案】B 【解析】

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

4． 二次型

是（ ）二次型.

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

是不定二次型，故选B.

方法2 设二次型矩阵A ，则

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

.

）

6． 设相似. 证明, 得阵要性因

任取

故有

是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使

则称

可

相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由

在该基下的矩阵仍记为

中任给向量

的自然

基

.

由

【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,

相似，则存在可逆矩阵S ，使如

则因

显见问题等价于矩

. 如. 可得

必

相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使

充分性由题设，存在可逆阵S ，

对

从而有

即

可

得

所以

7． 设A 是定矩阵.

【答案】因为A 为实矩阵，且

所以B 为n 阶实对称矩阵. 又对

所以

因而B 为正定矩阵.

实矩阵，E 为n 阶单位阵. 已知矩阵

即

相似.

时，矩阵B 为正

试证明：

（2）在没有给出抽象矩阵所满足的关系式时，要说明其正定常考虑使用定义（本题中，

没有满足的关系式，只是一个记号）.

8． 设E 为n 阶单位矩阵，a ，b 为给定的n 维列向量，并有

证明：

是正定矩阵. 【答案】当

时，显然

所以有

正定.

令

则有H ，为对称阵，且