2017年湖北大学数学与统计学学院601高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】D 【解析】
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
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.
）
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． ①设A ，B 为 ②若n 阶方阵A ，B 满足 矩阵. 证明：若 则 结论显然. 故下设0 证明：存在可逆方阵M ，使AMB=0. 【答案】①因为m>n且AB 是m 阶方阵， 故②设r （A ）=s, r （B ）=t.若s ，t 中有0或n , 则因逆方阵 使 第 3 页，共 47 页 显然 7． 讨论 可逆且 又 取何值时，线性方程组 无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】 （1）当（2）当（3 ） 时， 时，时 ， 故方程组有唯一解. 故方程组无解. 方程组有无穷多解， 一般解为 为任意数. 是线性方程组 其中 为自由未知量. 取特解为导出组的基础解系为故通解为 8． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量 的两个解. （1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数； （2）将 正交化，则 第 4 页，共 47 页 其中B 是 的相似矩阵， 是B 的伴随矩阵. 的两个线性无的特征向量. 注意 是 是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值 关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则 是A 的特征值，对应的特征向量分别
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