当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

是（ ）二次型.

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

3． 设A 是矩阵，

A. 如果B. 如果秩

则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

第 2 页，共 40 页

. 有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

秩

未知量个数，

4． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设考虑到

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有

R （A ）

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB

的第一列

从而

由②有

为空间的两组基，且

二、分析计算题

6． 设同时为对角阵.

【答案】由于A 可对角，从而存在可逆阵P , 使

且A ，B 都可对角化，证明：存在可逆阵T ，使

与

第 3 页，共 40 页

其中所以

再由①，②以及

互异，知

为准对角阵，其中为

矩阵. 由于B 可对角化，则它的初等因子都是一次式，再由③知

使

则

为对角阵. 再令T=PR，则T 可逆，且

为对角阵

.

互不相同，且

由AB=BA.

的初等因子也都是一次式. 所应存在可逆阵

由④，⑤即证.

7． 设

是4维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下的矩阵为

（1）求T 在

（2）求T 的核与值域； （3）若线性变换【答案】（1）设

有

到

问是否为可逆变换？为什么？ 的过渡矩阵Z , 由已知条件得

其中

下的矩阵B ;

第 4 页，共 40 页