2018年燕山大学理学院701数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
因为
. , 所以
2． 证明:（1）若函数f 在
（3）对任意实数在一点,
使得
, 又因为
于是
, 因此
（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存在一点 使得（3）当
, 又因为
时, 结论成立. 当
时, 设
, 于是
令
由（2）的结论知,
3． 设
为
内的有界函数. 证明:
【答案】因为
在
内有界, 则存在
使得
. 对任意
利
在
内一致连续当且仅当
其中
. 则
. 因此
都有. 证明
. 上可导, 且
, 则. 则
,
于是
.
又因为
, 所以存在N , 当n>N时,
有
（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且
【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存
用拉格朗日中值定理, 得
其中介于
和
之间, 显然有
于是有
由此可知
在
内一致连续当且仅当
在
内一致连续
,
在
内一致
连续当且仅当, 4． 设
【答案】因
证明
结论得证.
单调递增趋于无穷, 故利用Stolz
公式
得
5．
设
在
上可微
,
且对于任何
有
求证:对任何正整数n
, 有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】
由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
在
上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在
使得
因此
二、解答题
6． 求n
维角锥
【答案】
令
则
, 的体积.
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可得
成上的方向导数.
故有
8． 讨论函数项级数
【答案】当0
级数收敛.
不趋于0, 所以不一致收敛.
，即
于是，对于任意的敛.
9． 将定义在
（1）（2）
，x>l, 存在
，当n ＞N 时
，因此，级数一致收所以
在（
0，1）和
的一致收敛性.
7
． 求函数u=xyz在点A （5，1，2）处沿到点B （9，4，14）的方向
【答案】
，
其方向余弦为
因为
上的函数,
延拓到R 上, 使延拓后的函数为（i ）奇函数; （ii
）偶函数.
设
【答案】设f , g
分别为奇函数和偶函数,
则
（1）将
分别作奇延拓和偶延拓, 得到
（2）设
为
在R 上的奇延拓, 则当
时,
当
时,
于是
于是