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一、计算题

1． 应用拉格朗日乘数法, 求下列函数的条件极值:

（1）（2）

（3）

【答案】（1）设

,

若

, 若x ＋7－1=0;

若

（其中x , y , z , t>0, f>0）;

对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则令

解之得

由于当（2）设

时

,

故函数必在惟一稳定点处取得极小值, 极小值

令

解方程组得x=y=z=t=c

由于当n 个正数的积一定时, 其和必有最小值, 故f 一定在惟一稳定点（c , c , c , c ）处取得最小值也是极小值, 所以极小值f （c , c , c , c ）=4c.

（3）设

令

解方程组得x , y , z 的六组值为:

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又

因此极小值

在有界闭集上连续, 故有最值.

极大值

2． 设

（

1

）（2）（3）【答案】 （1）

（2）

（3）

3． 设

|

.

为可导函数, 求:

【答案】因为

, 所以

.

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4． 求下列函数f 的黑赛矩阵, 并判断该函数的极值点:

（1）（2）

【答案】（1）因为

, 其中

故可知, 的黑赛矩阵

, 的稳定点

,

所以黑赛矩阵A 是正定的, 故x 0是f （x ）的极小值点. （2）因为

其中

由此可知, 的黑赛矩阵

的稳定点

又

所以黑赛矩阵为不定的, 故x 0不是极值点.

5． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,