2018年云南民族大学数学与计算机科学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理:.
【答案】定理:
若
）时.
则对任给的
于是当
存在
.
使得当
时, 也有
则对任给的（即
取
2． 证明:场
【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有
故A 是有势场. 由
故其势函数为:
3． 设
为
上的有界可测函数, 且
那么
证明:
在
上几乎处处为0.
存在）时有
, 则当
. 使得
. 而当
是有势场并求其势函数.
（即时, 总有
故
）时有
’
&
即
同理可得
并且
【答案】（反证法）假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾
, 所以原命题成立
.
二、解答题
4．
应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:
（1）（2）（3）
【答案】（1）记时
,
故
（2）因判别法知原级数收敛.
, 故
从而级数
sinnr 的部分和数列
从而级数收敛.
（3）注意到数列
单调递减且
故只需考察级数
即级数
的部分和数列有界, 由狄利克雷判别法知原级数收敛.
5． 用极坐标计算下列二重积分
（1）（2）（3）
, 其中其中
, 其中D 为圆域
则
又
故
时,
收敛, 由阿贝尔
单调且有界, 因此数列
关于n 单调有界. 又级数
即
S n
有界. 又
时, 数列单调递减且由狄利克雷判别法知原
的部分和数列
（4）【答案】（1）
, 其中D 为圆域
.
（2）应用极坐标变换后积分区域
从而
（3）原积分=（4）
6． 求下列极限（其中P>1）:
（1）（2）
【答案】（1）考察级数因P>1, 故级数
存在N , 当n>N时, 有
从而, 原式=0. （2）考察级数因P>1时级i 从而, 原式=0.
7． 设在点a 连续,
【答案】
故当且仅当
8． 若
【答案】由
时, , 计算
知
收敛, 据柯西收敛准则, 任意
收敛, 故由柯西收敛准则, 任意
. 存在N , 当n>N时,
, 求和. 问在什么条件下存在？
存在.