2017年东北大学数学综合之概率论基础复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果，即先从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，
这总共有
种可能接法，由此得所求概率为
2． 一位经济学家对生产电子计算机设备的企业收集了在一年内生产力提高指数（用0到100内的数表示）并按过去三年间在科研和开发上的平均花费分为三类：
生产力提高的指数如下表所示：
表
1
请列出方差分析表，并进行多重比较. （取α=0.05） 【答案】由所给条件，对数据进行计算如下表：
表
2
由此可求得各类偏差平方和如下
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因而可得方差分析表如下：
表
3
若取
查表得
由于
故我们可认为各水平间有显著
这是一个很小的概率，说明因子的显著性很高，从而应进一步作多重比较. 此处各水平下试验次数不同，可采用重复数不等场合的s 法作多重比较. 若取
又
因而有
比较结果如下：
认为认为认为
有显著差别；
有显著差别；
有显著差别， 则查表知
差异，即花费的多少对生产力提高是有显著影响的. 检验的p 值为
所以在显著性水平0.05下，各个水平间均有显著差异，第三个水平（花费多）对生产力提高最有帮助.
3． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码：（甲）1，2，2，5，10（g ）；（乙）1，2，3，4，10（g ）；（丙）1，1，2，5，10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问：当物品的质量为lg ，2g ，…，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？
【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数.
；2个砝码可称4种物（1）用甲组法码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ）品（3，4，6，7（g ）））. 所以X 的分布列为列为
表
1
因此平均所用法码数为：
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；2个法码可称3（2）用乙组法码称重时，1个按码可称5种物品（1，2，3，4，10（g ））
；3个砝码可称2种物品（8，9（g ）种物品（5，6，7（g ）））. 所以Y 的分布列为
表
2
因此平均所用法码数为：
；2个砝码可称3种物（3）用丙组砝码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；3个砝码可称2种物品（4，8（g ）；4个砝码可称1种物品（9（g ）品（3，6，7（g ））））. 所以Z 的分布列为
表
3
因此平均所用砝码数为：
所以用乙组法码称重时，所用的平均砝码数最少.
4． 设总体4阶中心矩
存在, 则对样本方差
, 有
其中
为总体X 的方差.
并以
简记从1到n 的求和, 于是
由于诸间相互独立, 且
所以,
故
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【答案】为书写方便起见, 记
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