2017年东北大学数学综合之概率论基础考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知随机变量Y 的密度函数为
在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为
求概率【答案】因为
所以
2． 掷两颗骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点.
【答案】
A=“点数之和为6”=B=“点数之和不超过6”
C=“至少有一个6点”
所以（1）P （A ）=5/36；（2）P （B ）=5/12；（3）P （C ）=11/36.
3． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取
）？
【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，
则
由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了
能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题
为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若
不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题
观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的
则
.... 故拒绝域为
由于
因此在显著性水平
时，应接受原假设
即使用原料B 生
产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.
4． 设独立同分布, 服从以下分布, 求相应的充分统计量:
（1）负二项分冇（2）离散均匀分布:（3）对数正态分布:（4）瑞利（Rayleigh ）分布:
【答案】（1）样本的联合密度函数为:
可以使用两样
可
计算如下检验统计量
若取拒绝域为若取
贝
!J
方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，
由所给条件，计算得
已知:
未知:
, .
；
其中由因子分解定理知是充分统计量.
（2）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
是充分统计量.
（3）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
（4）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
是充分统计量.
是充分统计量.
5． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：
因为甲掷n+1
次硬币共有
种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，
因而样本点的总数为
则所求概率
又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，
P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数）
注意：如果将甲掷n+1次改成掷n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数
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