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一、计算题

1． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

所以

2． 某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响. 现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：

表

1

因为

又因为二次函数

（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在三种方法对含水率有无显著影响；

（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间.

【答案】（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：

表

2

下检验这

三个平方和分别为

据此可建立方差分析表：

表

3

在显著性水

平有显著影响. 检验的p 值为

（2）每种水平含水率的均值估计分别为

而误差方差的无偏估计为别为

3． 已知（X , Y ）的联合分布列如下:

试求:

（1）已知Y=i的条件下, X 的条件分布列, i=l, 2; （2）X 与Y 是否独立？ 【答案】（1）因为

所以在给定Y=1的条件下, X 的条件分布列为

因而

若取

则

于是三个水平均值的0.95置信区间分

下，查表

得

故拒绝域

为

由

于

故认为因子A （储藏方法）是显著的，即三种不同储藏方法对粮食的含水率

在给定Y=2的条件下, X 的条件分布列为

（2）因为

所以由

知X 与Y 不独立.

4． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.

【答案】记事件

为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则

注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.

5． 测得一组弹簧形变x （单位：cm ）和相应的外力y （单位：N ）数据如下：

表

由胡克定律知

试估计k ，并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

【答案】已知k 的最小二乘估计为

的均值和方差分别为k

和

又

因此的预测区间为

其中

此处，由样本数据可计算得到

从而

而x=2.6cm相应的外力的预测值为

当

时，查表知

故

因而得到的预测区间为

在题中已经给

出所

以

且两者独立，从而有

从

而

其中