2017年东北大学统计方法之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：
因为甲掷n+1
次硬币共有
种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，
因而样本点的总数为
则所求概率
又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，
P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数）
注意：如果将甲掷n+1次改成掷n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题.
2． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%, 为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取成年人中的大学毕业生人数，则
检验的拒绝域为
若取
问该人看法是否成立？并给出检验的P 值.
待检验的一对假设为
由于
由于观测值为3, 未落入拒绝域中，所以接受原假
【答案】这是关于比例的假设检验问题，以p 表示成年人中的大学毕业生比例，X 表示15名
故取c=l，从而检验的拒绝域为设，不能否定该人的看法.
此处计算检验的P 值更容易一些，事实上，若以X 表示服从二项分布b （15, 0.3）的随机变量，则p 值为
这个p 值不算小，故接受原假设是恰当的.
3． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求
【答案】
由
解得
是开口向上的，故有
所以
4． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布. 试求P （50 【答案】 5． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下： 在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为 由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是而 因而，检验的统计量为若取拒绝原假设. 由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为 6． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）. 【答案】X 的分布列为 表 所以 因为 又因为二次函数 ，则要检验的假 检验的拒绝域为 由于u=—2.1落入拒绝域，故 则 7． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为 试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则 所以至少有一个电子元件损坏的概率为 8． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为x ，照射后所剩细菌数为y ，下表是一组试验结果. 表 1 其中 从表中数据可见：y 是随着x 的増加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式 （1） （2）（3） 【答案】 我们以 和剩余标准差s ，并作出比较. 则回归方程 从而 于是就得到了lny 关于x 的线性回归方程程为 拟合值与残差平方如下表计算： 表2 试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数 为例给出计算过程. 令 由数据可算得（参见下表） 化为 所以y 关于x 的曲线回归方
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