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一、分析计算题

1． 设A 为n 阶实对称阵，且

称方阵？如是，说明理由；如不是，举出反例.

【答案】A 是正定的. 下证A 的任一特征值

从而

因为

所以

即

即A 的特征值全为1，所以A 为正定阵.

是V 中两个向量，如果必有

对所有足题目要求.

（2）当f 限制到K 上是非退化的，而f 在V 上是对称的. 于是f 限制在K 上是对称的，非退化的双线性函数. 由定理5，存在K 的一组基

使f 在此基下的度量矩阵为对角阵

都成立.

与一切

正交，显然

满

【答案】（1）当f 限制到K 上是退化的，这时有

使

设是A 属于特征值的特征向量. 则

（1为n 阶单位阵）. 问：A 是否一定为正定实对

由于实对称阵的特征值均为实数，因而知

2． 设则称

是V 上对称的或反对称的双线性函数. 正交. 再设K 是V 的一个真子空间，证明：对

又由f 在K 上非退化知

皆不为零. 这时有

再设令

则任意

都有

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（3）当f 限制在K 上是非退化的，且f 是反对称的、由定理6，K

中存在一组基

使得

设

令

则对任何

3． 设

（1）如果（2）如果【答案】（1）因为组合.

由

（2）对任一

可推出

由

是欧氏空间V 的一组基，证明： 使

对任一

有因此

可得

得那么

那么

由（1）得

是V 中p 个向量，满足

的线性组合，即

都是

的线性

是欧氏空间的一组基，对任一

4． 设a 为欧氏空间V 中的一个非零向量，

证明:（1）

【答案】（1）反证法. 设有实数

使

将其中具有正系数于

因此

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线性无关；

个向量，使其两两夹角都大于

线性相关. 不妨设

将这关系式改写成

的项归入因

具有负系数的项归在

及

下. 且令

故

但

是

（2）n 维欧氏空间中最多有

是

另一方面

这个矛盾证明了所要的结论. （2）设取

则

于是

它们两两成钝角，于是有

符合第（1）小题的假设条件，故

线性无关.

又V 是n 维的，有

5． 设为n 阶行列式

证明：

中元素％的代数余子式.

【答案】①用表示将D 中第j 列可将拆成

个

元素换为后所得的n 阶行列式；按列

行列式相加，但去掉其中有两列相同者外，则得

将按第j 列展开即得

②将将第1行

加到第2行，便得

的第

行都加到第n 行；再将第

行都加到第

最后

其中于是由题①即得

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