2017年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
（1）β不能由（2）口可由（3）口可由【答案】设有数
线性表示；
惟一地线性表示，并求出表示式； 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.
使得
作初等行变换，有
（1）当
为任意常数时，有
（2）
（3）
试讨论当a ，b 为何值时，
可知秩A=秩
故方程组①有无穷多解，其全部解为
即β可由
线性表示，但表示式不惟一，其表示式为
2． n 级欧氏空间V 的线性变换，满足迹等于
在V 之某基底下对应矩阵的迹数）.
目
.
【答案】取V 的一组基则由式. ，则
（1）当（2）当
知 时，则
时，n 为偶数，此时
那么
证明：迹（题中表示零变换，
是A 的零化多项式. 设
为A 的最小多项
（3）当
时，
3． 设与
均为有限维线性空间V 的子空间，且中一个重合【答案】因为所以由题设所以即当此时
时，由
得
与另一个重合.
则和空间
当因为
所以
时
此时，
4． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
（1）（2）（3）（4）（
【答案】（1）（2）（3）（4）
和
证明由题设，可令
. 由于两两正交的非零向量组线性无关，且
如果
是线性无关
均
有
表示所有由
经过对换得到的项的和. ）
5． 在欧氏空间中有三组向量
的
，
和
都是两两正交的单位向量组，并且对
一切
【答案】对每一个i ，有
这里
性无关，所以均可逆.
由⑴、（2）可得是上三角矩阵. 令
且时线
（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵仍是上三角矩阵，且上三角阵的乘积仍是上三角阵，
所以
均为规范正交组，所以C 是正交矩阵，即有i
考虑到及这里为下三
角，为上三角，所以且结合（3）, 命题得证.
6．
设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明
：
也是一组标准正交基.
【答案】由
到
的过渡矩阵是
因为
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