2017年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A
是
非零方阵，
则有正整数
故有
如果
秩由
中不能全
不为零，
否则每个秩而秩
与所设秩
就得
到秩
【答案】现设秩和
显然（1）的解是（2）的解. 又秩（1）的
基础解系也是（2）的基础解系，于是（1）与（2）同解. 再考虑齐次方程组
显然（2）的解是（3）的解. 对（3）的任一解即
是（2）的解，因此是（1）的解，于是
有
因而
是（2）的解，这证明了
完成了证明.
齐次方程组
（2）与（3）是同解的，它们的系数矩阵必有相同的秩，即秩
2． R 是实数域，
【答案】取任一元R 上线性
相关.
于是有
不全为零使
第 2 页，共 32 页
秩 证明：
由于
即A 可逆，则
秩如果
秩
因
使秩
于是依次
取
考虑n 次方程组
的基础系中有相同数目的解，于是
矛盾. 于是有
下面证明对任何1若
秩
K 是R 的扩域，且是R 上有限维（大于1）空间，则K=C.（这说明三但
由于K 是R 上有限维的，有充分大的n ，使
令
在则
维以上的 超复数域是不存在的）.
将
其
中
必有某
有
=0.必有某于是
进而
由 3． 设
（2）求
成为对角阵；
所以A 的特征值为
（n 是正整数）. 易知
因此C （复数域）
又对任一
由
知
即有
使
或
但
是一次的，
故不可能
分解成
上不可约多项式的乘积
是二次不可约多项式.
由
为一次多项式
，
（1）求正交矩阵P ，使【答案】（1）计算可得当
时，得特征向量
当
时，得特征向量
令
则
（2）由①式有
其中
第 3 页，共 32 页
4． 设
【答案】逆阵P , 使
A 的最小多项式能分解成数域F 上一次因式之积，则其中M 是幂因为存在可
零阵，N 相似于对角阵，且MN=NM.
能分解成数域F 上一次因式之积，说明A 的若当标准形
这里
令显然，则这里
是幕零若当块，
是数量阵.
取角阵C ，且
且则这里N 相似于对
5． 设
①②若
证明： 是
则T 可逆
的线性变换； 可逆. 则
【答案】①任取
故T 是线性空间②若又若
则
的线性变换.
有
第 4 页，共 32 页
且A , B可逆，则任取即T 为满射.
即T 为单射. 故T 可逆.
相关内容
相关标签