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一、分析计算题

1． 把向量表成向量

（1）

（

【答案】（1）设

2

）

的线性组合：

按各分量写出等式，得方程组

对它求解，得

故

（2）设

按各分量写出等式，得方程组

对它求解得

故

2． 下图表示一个电路网络，每条线上标出的数字是电阻（单位是欧姆），E 点接地，由X ，Y ，U ，Z 点通 入的电流皆为100安培，求这四点的电位. （用基尔霍夫定律. ）

图

【答案】U , X, Y , Z点的电位分别为

3． 设3阶矩

阵

【答案】

其

中

均为3维行向量，

且

4． 如果

那么它们线性无关.

【答案】设有一组数

某

不妨设为

则可得

由此知道，

的公因式皆为

有非常数公因式，与题设线性无关.

5． 设

为欧几里得空间V 的标准正交基

. 求正交变换H ，使

【答案】令

则

是镜面反射，于是H 是第二类正交变换. 注意到

直接验证

是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，

使

要证

若有

的因式. 而题设有非常数公因式，

故

互素矛盾. 故

即

故H 为所求

6． 设V 是复数域上n 维线性空间，切可能值.

【答案】取V 啲一组基

再取

的一组基

，则

7． 设

证明：【答案】记由

是线性空间的同构映射，而同构映射保持向量组的线性相关性，故

8． 证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1或-1.

【答案】设A 是一个上三角矩阵：

是II 维线性空间V 的一组基，A 是一个

的维数等于A 的秩.

由式（6—21）知

在基

_的坐标，

矩阵，且

各为V 的维和维子空间，试求

之维数的一

如果A 还是一个正交矩阵，则有

由最后一行可得

逐行往上可得

即A 为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1. 9． 设

为由全体正实数对运算