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一、分析计算题

1． （1）A 是一个n 级可逆矩阵，求下列二次型的矩阵

.

（2）证明：当A 是正定矩阵时，f 是正定二次型；

（3）当A 是实对称矩阵时，讨论A 的正、负惯性指数与f 的正、负惯性指数之间的关系. 【答案】（1）方法1因为A 可逆，故

存在

.

因为这里

不一定是对称矩阵，所以f 的矩阵是

是A 的伴随矩阵.

其中

将f 按第一行展开

是A 的第i 个列向量.

方法2把A 表成

再将上式中第i （i=l，2, …，n ）个行列式按第i 列展开，并用的代数余子式. 得

表示A

因为A*不一定是对称矩阵，所以f 的矩阵是

2． 计算以下n 阶“带形”行列式：

【答案】将按第一列（行）展开，得

设

为方程

的根，则

且

于是有从而由（24）又得

据此递推可得

同理又得

于是当

时得

当

时由（25）得

因此，最终结果（令

）为

3． 设T , S是复数域上n 维空间V 的线性变换且可交换. 证明：

①T 的特征子空间对S 也不变； ②T , S至少有一个公共特征向量.

【答案】①设是T 的一个特征值，是T 的属于的特征子空间，则又任取

则

于是由TS=ST得

因此，对S 不变. 用

特征向量，故

当然对T 不变.

即对S 也不变.

中的诱导变换，从而

在

中必有特征值，设为

而

为相应

②因为T 是复数域上n 维空间的线性变换，故T 必有特征值. 令为其一特征值，则由①知

，

表示S 在

但因为

4． 设

故亦有即是T ，S 的公共特征向量.

又

为任一非零多项式. 问：

所得的商及佘式分别为

所得的商及余式为何？

所得的商及余式为何？

所得的商为

的充要条件为何？ 或且

次.

【答案】①设则

这表明，fh 除以gh 所得的商不变，而余式为rh. ②由（6）得仍为

③其充要条件为：

则余式必为

反之若上式成立. 则结论显然.

5． 求多项式

【答案】记则于是

有重根的条件是

如果

6． 已知3阶矩阵A 的第一行是且AB=0，求线性方程组AX=0的通解.

【答案】由于AB = 0, 故当当对于

由AB=0可得

故可知：除以所得的商为而余式

次. 因为由（6）得

所得的商为

故必

有重根的条件.

如果

的条件是

那么

由此得

的条件是

那么能整除

因此，f （x ）有重根的条件为

不全为零，矩阵，（k 为常数）

又由a ，b ，c 不全为零，可知