2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：线性空间的非平凡子空间的补子空间不是唯一的.
【答案】设为V 的一组基
又令所以T 是又
令
，即
也是V 的补子空间.
因
线性表示. 所以
2． 证明：不存在方阵A ，B 使AB —BA=E.
【答案】设从而
3． 设秩
但是
为两个n 阶方阵. 则易知
因此
否则
可由
线性表示，
从而
可由
则
的一个补子空间.
显
然
也是V 的一组基，于
是
是线性空间V 的非平凡子空间，
是
的一组基
，将它扩大
证明：如果A 有零特征值，则零特征对应的初等因子次数不超过k.
【答案】设A 的若当标准形为
其中J 0为A 中所有特征值为0的若当形矩阵（即中可能有若干个若当块，其主对角线元均为0）. 其它若 当块
用反证法. 若t>k，则由①式有
这时由亍但
所以
都非奇异，所以
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的特征值均非零，即
下证
另设t 为中最大块的级数，它对应的初等因子为
从而由②，③，④，有
这与假设矛盾.
4． 求齐次线性方程组
并将之扩充为R4的标准正交基.
【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形
方程组的一般解为
这里
再单位化，得W 的标准正交基
记A 的行向量为化，得
则
可扩充为R4的标准正交基
的向量为T 的
5． 设T 是数域K 上线性空间V 的一个线性变换，称满足关于高为m 的根向量. 证明：
①【答案】①由此可知②任取且
是子空间且对T 不变；
作成子空间显然，因为它就是对
并设
则对任意
有
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. 即证零特征值对应的初等因子的次数不超过k.
的解空间（作为R4的子空间）的一组标准正交基，
是自由未知量. 取解空间W 的基：先正交化，得
将正交化，标准
②T 的关于的一切根向量作成的集合W 作成子空间且对T 不变.
与T 可换，故
对T 也不变.
不变. 但因为
故W 作成子空间，且由①知对T 不变.
6． 设为欧几里得空间V 的变换，
【答案】因为
所以
由
得
综上所述是线性变换，进而I 是对称变换.
是正定矩阵；
）均为实数，
7． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则
【答案】①设且
为实对称的.
有
则为对称变换.
②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定
的特征根为
由于A 为实对称的，故其特征根（设为
故
为正定矩阵.
d 淹分性显然，下证必要性.
设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有
从而
8． 设A 为n 阶半正定阵，B 为n 阶正定阵，证明：
因此，A=B.
且等成立当且仅当A=0.
【答案】由假设知A+B正定阵，（A+B）-B 半正定，B 正定，由第413题有
正定，有存在可逆阵P ，使
其中
设C 的n 个特征值为C+E的n 个特征值为
其中
由C 半正定，因此至少有一个
由②有
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不妨设那么