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一、证明题

1． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是其中（2）若（0,

, 当

则

时,

）上取值, 所以当

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

当

时, 有

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知

2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

3． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

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【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

分布函数, 即（2）. 相互独立, 由（1）

的相互独立性可导致

, 且X

的特征函数, 由唯一性定理知

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

因而

4． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明

：

【答案】

5． 设从均值为

方差为

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&

的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

6． 设

【答案】一方面

另一方面

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）的均值

中方差最小的.

证明：

7． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

8． 设

为来自指数分布

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

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