2017年桂林理工大学理学院874概率统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:
【答案】
2． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
3． 设0 【答案】由条件 4． 设（ 得 ）为n 维随机变量, 其协方差矩阵 . 在连续场合也有类似解释, 所以在一般 也是常数, 故有 存在, 试证: 是随机变量Y 的函数, 记 , 它仍是随机变量. 在 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 存在. 证明:若 使得 , 则以概率1 在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数 【答案】由于使得 另一方面, 意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量 方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得 5． 设明: 为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 为绝对收敛级数. 令证 【答案】不妨 设 又因为 否则 令 . 因为 , 并讨 论即可. 由 知 为绝对收敛级数, 可记 故有 所以由马尔可夫大数定律知 服从大数定律. 个 6． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为 【答案】 设事件设 则显然有 则由全概率公式得 把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有 类似有 所以代入（1）式得 由归纳法知结论成立. 7． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证: 【答案】注意到 其中 , 而 又 下用归纳法证明. 为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”， 记 是取自该总体的简单随机样本, 为样本均值, 为 由此, 8． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2. 【答案】因为 上式移项即得结论. 9． 设 为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为 （1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为 则在给出样本 后的后验分布密度函数为 其中 和 证明：2P （ABC ）=P（AB ） 其中验分布. （2 ）当已知时，不妨设c 服从伽玛分布 都已知. 则给出样本 即 其中 后c 的后验分布密度函数 因此， 所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
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