2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是取自二维正态分布
的一个二维样本, 记
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外,
类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且
于是根据t 变量的构造可知
这就是我们要求的分布.
2． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
4． 设总体
【答案】令
则
对上式求导易知，当
5． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
时上式达到最小，最小值为
它小于的均方误差
即A ，B 相容.
是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
6． 设
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
为独立的随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为
7． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
得两边取对数解得所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
数为6的概率大于1/2. 8 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时，V ar （Z ）达到最小，此时
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是
的线性无偏估计类
中方差最小的.
的样
该无偏估计为
二、计算题
9． 设总体X 的概率密度为_
是来自总体X 的简单随机样本
（I ）求参数的矩估计量； （II
）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由
令（II
）设
得参数的矩估计量为
其中参数
未知
，
为样本观测值，则似然函数为
于是
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