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一、证明题

1． 设

在

上有连续的导函数，

证明：

【答案】令

则

由

可知，

于是有

2． 证明：

【答案】

于是，对于

存在M>0, 使得当

时，有时.

. 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切

故 3． 设

证明

令于是

则.

从而原不等式成立.

故

在

上单调递减.

为有界函数.

' 为有界函数.

的有界性定理知，存在S>0，使得当

【答案】原不等式

4． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且

收敛.

【答案】对任意的

使从而

因为

在上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

5． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。

【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.

取

. 任意

存在则H 是

上连续，则在

有

不妨设

因此

由一致连续定义，

在

6． 设函数得

【答案】由

在含有

上一致连续。

的某个开区间内二次可导，

且

定理得，对

有

而

故有

令

则有

即

上一致连续. 因为在

对任意

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个

开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为

取

时，由于

对任意

即当

则存在使

7． 证明：若

【答案】由

又因为

数列

也有上界. 设正数综上所述，得

和为递增数列，

为递减数列，且

则

与

都存在且相等.

f 上界，因而

可知，数列为递减数列，所以是

的一个上界. 由

是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，

于是，数列

可得

与

都存在. 再由

都是单调有界的，所以

二、解答题

8． 求下列不定积分：

【答案】