2017年中国地质大学(北京)数理学院612基础数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 按定义证明下列极限：
(1) (4)
(2)
由
得
取
则当\>厘时，有
故
(2) 限制
则
只要取
则当
故(3)
对任意给定的
取
，由
它成立的一个充分条件是
对任给的
故 2． 已知
为发散的正项级数
，
为其部分和，用柯西收敛原理证明
使得
可以先取n=N+l，注意到
递增，所以此时有
第 2 页，共 36 页
(3)
【答案】(1) 对任意给定的
时，有
于是，对任意给定的
得
则当|x|>M时有
故(4)
若限制0<2—x 取 发散. 则当 时，有 【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数 因为则 所以原命题成立. 3． 设 求证 ： 联合 与 当当即得 4． 设 【答案】已知 且满足 . 即 证明 : 有下界又由 可推出 若 则 即 单调递减. 由单调有界定理，在不等式 存在，记为 可知 矛盾. 由此可见 的极限存在，并求出其极限值. 即得 和 两种情况考虑 . ， 时， 方法二：分 时， 递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得 【答案】方法一： 两边， 令 再在不等式 中，令可得 5． 证明下列不等式： 即 解之得 第 3 页，共 36 页 【答案】(1) 因为等于1或 所以由积分不等式 即(2) 因为在(3) 由于在 上 ， 且函数不恒等于1和所以有 上 ， 所以有 (4) 设 则 得 在 上惟一的驻点为 为函数 为 在在 可验证它是极大值上的最大值， 又 上的最小值， 从而在 上连续，且不恒 点，而可导函数惟一的极大值必为最大值， 所以 且 由此得 故 6． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 【答案】设有一个奇次方程为则 由得 于是 知， 存在正数 使得 由 知，存在负数 ： 使 异号. 由根的存在定理知， 内至少有一个根. 其中 设 令 故任一实系数奇次方程至少有一个实根. 7． 证明：函数 【答案】下面用归纳法证明 其中 第 4 页，共 36 页 在x=0处n 阶可导且 其中n 为任意正整数. 为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，
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